Rezolvați y=4/3x-28/3;quady=2x+8

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

Rezolvați pentru y, x

$$x=-26$$

$$y=-44$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți \frac{4}{3}x din ambele părți.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți 2x din ambele părți.

$$y-2x=8$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru y, prin izolarea lui y pe partea din stânga semnului egal.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Adunați \frac{4x}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

Înlocuiți y cu \frac{-28+4x}{3} în cealaltă ecuație, y-2x=8.

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

Adunați \frac{4x}{3} cu -2x.

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

Adunați \frac{28}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la -\frac{2}{3}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$x=-26$$

Înlocuiți x cu -26 în y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

Înmulțiți \frac{4}{3} cu -26.

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

Adunați -\frac{28}{3} cu -\frac{104}{3} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y=-44$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=-44,x=-26$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți \frac{4}{3}x din ambele părți.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți 2x din ambele părți.

$$y-2x=8$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele y și x ale matricei.

$$y=-44,x=-26$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți \frac{4}{3}x din ambele părți.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Luați în considerare a doua ecuație. Scădeți 2x din ambele părți.

$$y-2x=8$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Scădeți pe y-2x=8 din y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3} scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Adunați y cu -y. Termenii y și -y se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Adunați -\frac{4x}{3} cu 2x.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

Adunați -\frac{28}{3} cu -8.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{2}{3}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$x=-26$$

Înlocuiți x cu -26 în y-2x=8. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y-2\left(-26\right)=8$$

Înmulțiți -2 cu -26.

$$y+52=8$$

Scădeți 52 din ambele părți ale ecuației.

$$y=-44$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=-44,x=-26$$