Rezolvați y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Rezolvați pentru y, x

$$x=18$$

$$y=6$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți \frac{1}{3}x din ambele părți.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Luați în considerare a doua ecuație. Adăugați 3x la ambele părți.

$$y+3x=60$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru y, prin izolarea lui y pe partea din stânga semnului egal.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Adunați \frac{x}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Înlocuiți y cu \frac{x}{3} în cealaltă ecuație, y+3x=60.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Adunați \frac{x}{3} cu 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{10}{3}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$x=18$$

Înlocuiți x cu 18 în y=\frac{1}{3}x. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Înmulțiți \frac{1}{3} cu 18.

$$y=6$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=6,x=18$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți \frac{1}{3}x din ambele părți.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Luați în considerare a doua ecuație. Adăugați 3x la ambele părți.

$$y+3x=60$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele y și x ale matricei.

$$y=6,x=18$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți \frac{1}{3}x din ambele părți.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Luați în considerare a doua ecuație. Adăugați 3x la ambele părți.

$$y+3x=60$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Scădeți pe y+3x=60 din y-\frac{1}{3}x=0 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Adunați y cu -y. Termenii y și -y se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Adunați -\frac{x}{3} cu -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la -\frac{10}{3}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$x=18$$

Înlocuiți x cu 18 în y+3x=60. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$y+3\times 18=60$$

Înmulțiți 3 cu 18.

$$y+54=60$$

Scădeți 54 din ambele părți ale ecuației.

$$y=6$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$y=6,x=18$$