Rezolvați x-1=x*(x+1/2)

$$x-1=x \times (x+ \frac{ 1 }{ 2 } )$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{15}i}{4}\approx 0,25+0,968245837i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}\approx 0,25-0,968245837i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+\frac{1}{2}.

$$x-1=x^{2}+x\times \frac{1}{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$x-1-x^{2}=x\times \frac{1}{2}$$

Scădeți x\times \frac{1}{2} din ambele părți.

$$x-1-x^{2}-x\times \frac{1}{2}=0$$

Combinați x cu -x\times \frac{1}{2} pentru a obține \frac{1}{2}x.

$$\frac{1}{2}x-1-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu \frac{1}{2} și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați \frac{1}{4} cu -4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{-\frac{15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -\frac{15}{4}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{15}i}{2}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{15}i}{2}}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{15}i}{2}}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -\frac{1}{2} cu \frac{i\sqrt{15}}{2}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{-2\times 2}$$

Împărțiți \frac{-1+i\sqrt{15}}{2} la -2.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{15}i}{2}}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți \frac{i\sqrt{15}}{2} din -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{-2\times 2}$$

Împărțiți \frac{-1-i\sqrt{15}}{2} la -2.

$$x=\frac{1+\sqrt{15}i}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4} x=\frac{1+\sqrt{15}i}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+\frac{1}{2}.

$$x-1=x^{2}+x\times \frac{1}{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$x-1-x^{2}=x\times \frac{1}{2}$$

Scădeți x\times \frac{1}{2} din ambele părți.

$$x-1-x^{2}-x\times \frac{1}{2}=0$$

Combinați x cu -x\times \frac{1}{2} pentru a obține \frac{1}{2}x.

$$\frac{1}{2}x-1-x^{2}=0$$

Adăugați 1 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$\frac{1}{2}x-x^{2}=1$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x=1$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+\frac{1}{2}x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{\frac{1}{2}}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

Împărțiți \frac{1}{2} la -1.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{-1}$$

Împărțiți 1 la -1.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-1$$

Împărțiți -\frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-1+\frac{1}{16}$$

Adunați -1 cu \frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{15}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

Adunați \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1+\sqrt{15}i}{4} x=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}$$