Rezolvați x=-16x^2+81x+5

$$x=-16 { x }^{ 2 } +81x+5$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx 5,061737691$$

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx -0,061737691$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Adăugați 16x^{2} la ambele părți.

$$x+16x^{2}=81x+5$$

Scădeți 81x din ambele părți.

$$x+16x^{2}-81x=5$$

Combinați x cu -81x pentru a obține -80x.

$$-80x+16x^{2}=5$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$-80x+16x^{2}-5=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$16x^{2}-80x-5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 16, b cu -80 și c cu -5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Ridicați -80 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Înmulțiți -4 cu 16.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-64\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Înmulțiți -64 cu -5.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400+320}}{2\times 16}$$

Adunați 6400 cu 320.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6720}}{2\times 16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 6720.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

Opusul lui -80 este 80.

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

Înmulțiți 2 cu 16.

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32} atunci când ± este plus. Adunați 80 cu 8\sqrt{105}.

$$x=\frac{8\sqrt{105}+80}{32}$$

Împărțiți 80+8\sqrt{105} la 32.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32} atunci când ± este minus. Scădeți 8\sqrt{105} din 80.

$$x=\frac{80-8\sqrt{105}}{32}$$

Împărțiți 80-8\sqrt{105} la 32.

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Adăugați 16x^{2} la ambele părți.

$$x+16x^{2}=81x+5$$

Scădeți 81x din ambele părți.

$$x+16x^{2}-81x=5$$

Combinați x cu -81x pentru a obține -80x.

$$-80x+16x^{2}=5$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-80x=5$$

Se împart ambele părți la 16.

$$\frac{16x^{2}-80x}{16}=\frac{5}{16}$$

Împărțirea la 16 anulează înmulțirea cu 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{80}{16}\right)x=\frac{5}{16}$$

Împărțiți -80 la 16.

$$x^{2}-5x=\frac{5}{16}$$

Împărțiți -5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{5}{16}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{5}{16}+\frac{25}{4}$$

Adunați \frac{5}{16} cu \frac{25}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{105}{16}$$

Factor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{105}}{4} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Adunați \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$