Rezolvați x-y=5text{and}5y-4x=7

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=32$$

$$y=27$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x-y=5$$

Adunați y la ambele părți ale ecuației.

$$x=y+5$$

Înlocuiți x cu y+5 în cealaltă ecuație, -4x+5y=7.

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

Înmulțiți -4 cu y+5.

$$-4y-20+5y=7$$

Adunați -4y cu 5y.

$$y-20=7$$

Adunați 20 la ambele părți ale ecuației.

$$y=27$$

Înlocuiți y cu 27 în x=y+5. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=27+5$$

Adunați 5 cu 27.

$$x=32$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=32,y=27$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=32,y=27$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Pentru a egala x și -4x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu -4 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 1.

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

Simplificați.

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

Scădeți pe -4x+5y=7 din -4x+4y=-20 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

Adunați -4x cu 4x. Termenii -4x și 4x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$4y-5y=-20-7$$

Adunați 4y cu -5y.

$$-y=-20-7$$

Adunați -20 cu -7.

$$-y=-27$$

Se împart ambele părți la -1.

$$y=27$$

Înlocuiți y cu 27 în -4x+5y=7. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$-4x+5\times 27=7$$

Înmulțiți 5 cu 27.

$$-4x+135=7$$

Scădeți 135 din ambele părți ale ecuației.

$$-4x=-128$$

Se împart ambele părți la -4.

$$x=32$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=32,y=27$$