Rezolvați x-2y=-2;x+2y=10

$$x - 2 y = - 2 ; x + 2 y = 10$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x-2y=-2,x+2y=10$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x-2y=-2$$

Adunați 2y la ambele părți ale ecuației.

$$x=2y-2$$

Înlocuiți x cu -2+2y în cealaltă ecuație, x+2y=10.

$$2y-2+2y=10$$

Adunați 2y cu 2y.

$$4y-2=10$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$4y=12$$

Se împart ambele părți la 4.

$$y=3$$

Înlocuiți y cu 3 în x=2y-2. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=2\times 3-2$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=6-2$$

Adunați -2 cu 6.

$$x=4$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=4,y=3$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x-2y=-2,x+2y=10$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{1}{2}\times 10\\-\frac{1}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{4}\times 10\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=4,y=3$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x-2y=-2,x+2y=10$$

Scădeți pe x+2y=10 din x-2y=-2 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$x-x-2y-2y=-2-10$$

Adunați x cu -x. Termenii x și -x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-2y-2y=-2-10$$

Adunați -2y cu -2y.

$$-4y=-2-10$$

Adunați -2 cu -10.

$$-4y=-12$$

Se împart ambele părți la -4.

$$y=3$$

Înlocuiți y cu 3 în x+2y=10. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x+2\times 3=10$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x+6=10$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$x=4$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=4,y=3$$