Rezolvați x(2x+1)-(x-1)^2/2=3

$$x ( 2 x + 1 ) - \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { 2 } = 3$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x cu 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}-2x+1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Combinați 4x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Combinați 2x cu 2x pentru a obține 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Scădeți 6 din ambele părți.

$$3x^{2}+4x-1-6=0$$

Scădeți 6 din -1 pentru a obține -7.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-7. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=4 ab=3\left(-7\right)=-21$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -21.

$$-1,21 -3,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Soluția este perechea care dă suma de 4.

$$a=-3 b=7$$

Rescrieți 3x^{2}+4x-7 ca \left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right)$$

Factor 3x în primul și 7 în al doilea grup.

$$3x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(3x+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și 3x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x cu 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}-2x+1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Combinați 4x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Combinați 2x cu 2x pentru a obține 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Scădeți 6 din ambele părți.

$$3x^{2}+4x-1-6=0$$

Scădeți 6 din -1 pentru a obține -7.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 4 și c cu -7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\times 3}$$

Adunați 16 cu 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100.

$$x=\frac{-4±10}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-4±10}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±10}{6} atunci când ± este plus. Adunați -4 cu 10.

$$x=\frac{6}{6}$$

Împărțiți 6 la 6.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±10}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 10 din -4.

$$x=-\frac{14}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-14}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x cu 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}-2x+1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Combinați 4x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Combinați 2x cu 2x pentru a obține 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Adăugați 1 la ambele părți.

$$3x^{2}+4x=6+1$$

Adunați 6 și 1 pentru a obține 7.

$$3x^{2}+4x=7$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{7}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{7}{3}$$

Împărțiți \frac{4}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{2}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{2}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{3}+\frac{4}{9}$$

Adunați \frac{7}{3} cu \frac{4}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{25}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{5}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$$

Scădeți \frac{2}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$