Rezolvați x^4-x^2-12

$$x ^ { 4 } - x ^ { 2 } - 12$$

Descompunere în factori

$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+3\right)$$

Pașii soluției

Pentru a factor expresia, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$x^{4}-x^{2}-12=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -12 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±12,±6,±4,±3,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=2$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{4}-x^{2}-12 la x-2 pentru a obține x^{3}+2x^{2}+3x+6. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$x^{3}+2x^{2}+3x+6=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 6 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±6,±3,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-2$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}+2x^{2}+3x+6 la x+2 pentru a obține x^{2}+3. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$x^{2}+3=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 0 și c cu 3.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{0±\sqrt{-12}}{2}$$

Polinomul x^{2}+3 nu este descompus în factori, pentru că nu are rădăcini raționale.

$$x^{2}+3$$

Rescrieți expresia descompusă în factori utilizând rădăcinile obținute.

$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+3\right)$$

Evaluați

$$x^{4}-x^{2}-12$$