Rezolvați x^4-5x^3+10x^2-10x+4=0

$$x ^ { 4 } - 5 x ^ { 3 } + 10 x ^ { 2 } - 10 x + 4 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=1$$

$$x=2$$

$$x=1-i$$

$$x=1+i$$

Pașii soluției

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 4 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{4}-5x^{3}+10x^{2}-10x+4 la x-1 pentru a obține x^{3}-4x^{2}+6x-4. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{3}-4x^{2}+6x-4=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -4 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=2$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}-4x^{2}+6x-4 la x-2 pentru a obține x^{2}-2x+2. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{2}-2x+2=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu -2 și c cu 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{2±\sqrt{-4}}{2}$$

Rezolvați ecuația x^{2}-2x+2=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$x=1-i x=1+i$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=1 x=2 x=1-i x=1+i$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=2$$

Pașii soluției

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 4 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{4}-5x^{3}+10x^{2}-10x+4 la x-1 pentru a obține x^{3}-4x^{2}+6x-4. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{3}-4x^{2}+6x-4=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -4 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=2$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}-4x^{2}+6x-4 la x-2 pentru a obține x^{2}-2x+2. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{2}-2x+2=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu -2 și c cu 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{2±\sqrt{-4}}{2}$$

Pentru că rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită în câmpul real, nu există soluții.

$$x\in \emptyset$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=1 x=2$$