Rezolvați x^4-4x^3-25x^2+16x+84=0

$$x ^ { 4 } - 4 x ^ { 3 } - 25 x ^ { 2 } + 16 x + 84 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=2$$

$$x=7$$

$$x=-2$$

$$x=-3$$

Pașii soluției

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 84 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±84,±42,±28,±21,±14,±12,±7,±6,±4,±3,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=2$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{4}-4x^{3}-25x^{2}+16x+84 la x-2 pentru a obține x^{3}-2x^{2}-29x-42. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{3}-2x^{2}-29x-42=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -42 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±42,±21,±14,±7,±6,±3,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-2$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}-2x^{2}-29x-42 la x+2 pentru a obține x^{2}-4x-21. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{2}-4x-21=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu -4 și c cu -21.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-21\right)}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{4±10}{2}$$

Rezolvați ecuația x^{2}-4x-21=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$x=-3 x=7$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=2 x=-2 x=-3 x=7$$