Rezolvați x^4-29x^2+100

$$x ^ { 4 } - 29 x ^ { 2 } + 100$$

Descompunere în factori

$$\left(x-5\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Pașii soluției

Pentru a factor expresia, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$x^{4}-29x^{2}+100=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 100 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±100,±50,±25,±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=2$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{4}-29x^{2}+100 la x-2 pentru a obține x^{3}+2x^{2}-25x-50. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$x^{3}+2x^{2}-25x-50=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -50 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±50,±25,±10,±5,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-2$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}+2x^{2}-25x-50 la x+2 pentru a obține x^{2}-25. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$x^{2}-25=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 0 și c cu -25.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-25\right)}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{0±10}{2}$$

Rezolvați ecuația x^{2}-25=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$x=-5 x=5$$

Rescrieți expresia descompusă în factori utilizând rădăcinile obținute.

$$\left(x-5\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Evaluați

$$x^{4}-29x^{2}+100$$