Rezolvați x^4-27x^2+14x+120=0

$$x ^ { 4 } - 27 x ^ { 2 } + 14 x + 120 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=3$$

$$x=4$$

$$x=-2$$

$$x=-5$$

Pașii soluției

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 120 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±120,±60,±40,±30,±24,±20,±15,±12,±10,±8,±6,±5,±4,±3,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-2$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{4}-27x^{2}+14x+120 la x+2 pentru a obține x^{3}-2x^{2}-23x+60. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{3}-2x^{2}-23x+60=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 60 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±60,±30,±20,±15,±12,±10,±6,±5,±4,±3,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=3$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}-2x^{2}-23x+60 la x-3 pentru a obține x^{2}+x-20. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{2}+x-20=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 1 și c cu -20.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\left(-20\right)}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{-1±9}{2}$$

Rezolvați ecuația x^{2}+x-20=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$x=-5 x=4$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=-2 x=3 x=-5 x=4$$