Rezolvați x^4-2x^2+1

$$x ^ { 4 } - 2 x ^ { 2 } + 1$$

Descompunere în factori

$$\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Pașii soluției

Pentru a factor expresia, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$x^{4}-2x^{2}+1=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 1 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{4}-2x^{2}+1 la x-1 pentru a obține x^{3}+x^{2}-x-1. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$x^{3}+x^{2}-x-1=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -1 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}+x^{2}-x-1 la x-1 pentru a obține x^{2}+2x+1. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$x^{2}+2x+1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 2 și c cu 1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{-2±0}{2}$$

Soluțiile sunt la fel.

$$x=-1$$

Rescrieți expresia descompusă în factori utilizând rădăcinile obținute.

$$\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Evaluați

$$\left(x^{2}-1\right)^{2}$$