Rezolvați x^4=(2x-3)^2

$$x ^ { 4 } = ( 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=-3$$

$$x=1$$

$$x=-\sqrt{2}i+1\approx 1-1,414213562i$$

$$x=1+\sqrt{2}i\approx 1+1,414213562i$$

Pașii soluției

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x-3\right)^{2}.

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

Adăugați 12x la ambele părți.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

Scădeți 9 din ambele părți.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -9 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{4}-4x^{2}+12x-9 la x-1 pentru a obține x^{3}+x^{2}-3x+9. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 9 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-3$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}+x^{2}-3x+9 la x+3 pentru a obține x^{2}-2x+3. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu -2 și c cu 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Rezolvați ecuația x^{2}-2x+3=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=1 x=-3 x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

Rezolvați pentru x

$$x=-3$$

$$x=1$$

Pașii soluției

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x-3\right)^{2}.

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

Adăugați 12x la ambele părți.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

Scădeți 9 din ambele părți.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -9 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{4}-4x^{2}+12x-9 la x-1 pentru a obține x^{3}+x^{2}-3x+9. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 9 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-3$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}+x^{2}-3x+9 la x+3 pentru a obține x^{2}-2x+3. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu -2 și c cu 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Pentru că rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită în câmpul real, nu există soluții.

$$x\in \emptyset$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=1 x=-3$$