Rezolvați x^4+x^2+x+1=(x^2+A)(x^2-1)+Bx+C

$$x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + x + 1 = ( x ^ { 2 } + A ) ( x ^ { 2 } - 1 ) + B x + C$$

Rezolvați pentru A (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}A=-\frac{-2x^{2}+Bx-x+C-1}{x^{2}-1}\text{, }&x\neq -1\text{ and }x\neq 1\\A\in \mathrm{C}\text{, }&\left(B=4-C\text{ and }x=1\right)\text{ or }\left(B=C-2\text{ and }x=-1\right)\end{matrix}\right,$$

Pași pentru rezolvarea ecuației liniare

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}+A cu x^{2}-1.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

Scădeți x^{4} din ambele părți.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

Combinați x^{4} cu -x^{4} pentru a obține 0.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

Adăugați x^{2} la ambele părți.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

Scădeți Bx din ambele părți.

$$Ax^{2}-A+C=2x^{2}+x+1-Bx$$

Scădeți C din ambele părți.

$$Ax^{2}-A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

Combinați toți termenii care conțin A.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

Ecuația este în forma standard.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}-Bx+x-C+1$$

Se împart ambele părți la x^{2}-1.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)A}{x^{2}-1}=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

Împărțirea la x^{2}-1 anulează înmulțirea cu x^{2}-1.

$$A=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

Rezolvați pentru B (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}\text{, }&x\neq 0\\B\in \mathrm{C}\text{, }&A=C-1\text{ and }x=0\end{matrix}\right,$$

Pași pentru rezolvarea ecuației liniare

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}+A cu x^{2}-1.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

Scădeți x^{4} din ambele părți.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

Combinați x^{4} cu -x^{4} pentru a obține 0.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

Adăugați x^{2} la ambele părți.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

Scădeți Ax^{2} din ambele părți.

$$-A+Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}$$

Adăugați A la ambele părți.

$$Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A$$

Scădeți C din ambele părți.

$$Bx=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A-C$$

Reordonați termenii.

$$Bx=-Ax^{2}+2x^{2}+x+A-C+1$$

Ecuația este în forma standard.

$$xB=1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}$$

Se împart ambele părți la x.

$$\frac{xB}{x}=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

Împărțirea la x anulează înmulțirea cu x.

$$B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

Rezolvați pentru A

$$\left\{\begin{matrix}A=-\frac{-2x^{2}+Bx-x+C-1}{x^{2}-1}\text{, }&|x|\neq 1\\A\in \mathrm{R}\text{, }&\left(B=C-2\text{ and }x=-1\right)\text{ or }\left(B=4-C\text{ and }x=1\right)\end{matrix}\right,$$

Pași pentru rezolvarea ecuației liniare

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}+A cu x^{2}-1.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

Scădeți x^{4} din ambele părți.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

Combinați x^{4} cu -x^{4} pentru a obține 0.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

Adăugați x^{2} la ambele părți.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

Scădeți Bx din ambele părți.

$$Ax^{2}-A+C=2x^{2}+x+1-Bx$$

Scădeți C din ambele părți.

$$Ax^{2}-A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

Combinați toți termenii care conțin A.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

Ecuația este în forma standard.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}-Bx+x-C+1$$

Se împart ambele părți la x^{2}-1.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)A}{x^{2}-1}=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

Împărțirea la x^{2}-1 anulează înmulțirea cu x^{2}-1.

$$A=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

Rezolvați pentru B

$$\left\{\begin{matrix}B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}\text{, }&x\neq 0\\B\in \mathrm{R}\text{, }&A=C-1\text{ and }x=0\end{matrix}\right,$$

Pași pentru rezolvarea ecuației liniare

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}+A cu x^{2}-1.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

Scădeți x^{4} din ambele părți.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

Combinați x^{4} cu -x^{4} pentru a obține 0.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

Adăugați x^{2} la ambele părți.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

Scădeți Ax^{2} din ambele părți.

$$-A+Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}$$

Adăugați A la ambele părți.

$$Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A$$

Scădeți C din ambele părți.

$$Bx=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A-C$$

Reordonați termenii.

$$Bx=-Ax^{2}+2x^{2}+x+A-C+1$$

Ecuația este în forma standard.

$$xB=1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}$$

Se împart ambele părți la x.

$$\frac{xB}{x}=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

Împărțirea la x anulează înmulțirea cu x.

$$B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$