Rezolvați x^4+6x^3-5x^2-42x+40

$$x ^ { 4 } + 6 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } - 42 x + 40$$

Descompunere în factori

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Pașii soluției

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 40 și q împarte coeficientul inițial 1. O astfel de rădăcină este -5. Descompuneți în factori polinomul împărțindu-l la x+5.

$$\left(x+5\right)\left(x^{3}+x^{2}-10x+8\right)$$

Să luăm x^{3}+x^{2}-10x+8. Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 8 și q împarte coeficientul inițial 1. O astfel de rădăcină este -4. Descompuneți în factori polinomul împărțindu-l la x+4.

$$\left(x+4\right)\left(x^{2}-3x+2\right)$$

Să luăm x^{2}-3x+2. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-3 ab=1\times 2=2$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-2 b=-1$$

Rescrieți x^{2}-3x+2 ca \left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right)$$

Factor x în primul și -1 în al doilea grup.

$$x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Scoateți termenul comun x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Evaluați

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$