Rezolvați x^2-x-380=0

$$x ^ { 2 } - x - 380 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-19$$

$$x=20$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-x-380 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=-380$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -380.

$$1,-380 2,-190 4,-95 5,-76 10,-38 19,-20$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-380=-379 2-190=-188 4-95=-91 5-76=-71 10-38=-28 19-20=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-20 b=19$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-20\right)\left(x+19\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-20=0 și x+19=0.

$$x=20 x=-19$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-380. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -380.

$$1,-380 2,-190 4,-95 5,-76 10,-38 19,-20$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-380=-379 2-190=-188 4-95=-91 5-76=-71 10-38=-28 19-20=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-20 b=19$$

Rescrieți x^{2}-x-380 ca \left(x^{2}-20x\right)+\left(19x-380\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(19x-380\right)$$

Factor x în primul și 19 în al doilea grup.

$$x\left(x-20\right)+19\left(x-20\right)$$

Scoateți termenul comun x-20 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-20\right)\left(x+19\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-20=0 și x+19=0.

$$x=20 x=-19$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-x-380=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -1 și c cu -380 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-380\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -380.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+1520}}{2}$$

Adunați 1 cu 1520.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1521}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1521.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±39}{2}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±39}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±39}{2} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 39.

$$x=\frac{40}{2}$$

Împărțiți 40 la 2.

$$x=20$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±39}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 39 din 1.

$$x=-\frac{38}{2}$$

Împărțiți -38 la 2.

$$x=-19$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=20 x=-19$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-380=0$$

Adunați 380 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-x-380-\left(-380\right)=-\left(-380\right)$$

Scăderea -380 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-x=-\left(-380\right)$$

Scădeți -380 din 0.

$$x^{2}-x=380$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Adunați 380 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{39}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=20 x=-19$$