Rezolvați x^2-x-2015=0

$$x ^ { 2 } - x - 2015 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{8061} + 1}{2} \approx 45,391535951$$

$$x=\frac{1-\sqrt{8061}}{2}\approx -44,391535951$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-x-2015=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -1 și c cu -2015 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-2015\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -2015.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8060}}{2}$$

Adunați 1 cu 8060.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{8061}}{2}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{8061}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±\sqrt{8061}}{2} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu \sqrt{8061}.

$$x=\frac{\sqrt{8061}+1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±\sqrt{8061}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{8061} din 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{8061}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{8061}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{8061}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-2015=0$$

Adunați 2015 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-x-2015-\left(-2015\right)=-\left(-2015\right)$$

Scăderea -2015 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-x=-\left(-2015\right)$$

Scădeți -2015 din 0.

$$x^{2}-x=2015$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2015+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2015+\frac{1}{4}$$

Adunați 2015 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{8061}{4}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{8061}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8061}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{8061}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{8061}}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{8061}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{8061}}{2}$$