Rezolvați x^2-x+12=2x^2+3x+7

$$x ^ { 2 } - x + 12 = 2 x ^ { 2 } + 3 x + 7$$

Rezolvați pentru x

$$x=-5$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$x^{2}-x+12-2x^{2}=3x+7$$

Combinați x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține -x^{2}.

$$-x^{2}-x+12=3x+7$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$-x^{2}-x+12-3x=7$$

Combinați -x cu -3x pentru a obține -4x.

$$-x^{2}-4x+12=7$$

Scădeți 7 din ambele părți.

$$-x^{2}-4x+12-7=0$$

Scădeți 7 din 12 pentru a obține 5.

$$-x^{2}-4x+5=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-4 ab=-5=-5$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=1 b=-5$$

Rescrieți -x^{2}-4x+5 ca \left(-x^{2}+x\right)+\left(-5x+5\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-5x+5\right)$$

Factor x în primul și 5 în al doilea grup.

$$x\left(-x+1\right)+5\left(-x+1\right)$$

Scoateți termenul comun -x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+1\right)\left(x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+1=0 și x+5=0.

$$x=1 x=-5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$x^{2}-x+12-2x^{2}=3x+7$$

Combinați x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține -x^{2}.

$$-x^{2}-x+12=3x+7$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$-x^{2}-x+12-3x=7$$

Combinați -x cu -3x pentru a obține -4x.

$$-x^{2}-4x+12=7$$

Scădeți 7 din ambele părți.

$$-x^{2}-4x+12-7=0$$

Scădeți 7 din 12 pentru a obține 5.

$$-x^{2}-4x+5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -4 și c cu 5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 16 cu 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{36}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 36.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±6}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$x=\frac{4±6}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{4±6}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±6}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 6.

$$x=\frac{10}{-2}$$

Împărțiți 10 la -2.

$$x=-5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±6}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 6 din 4.

$$x=-\frac{2}{-2}$$

Împărțiți -2 la -2.

$$x=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-5 x=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$x^{2}-x+12-2x^{2}=3x+7$$

Combinați x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține -x^{2}.

$$-x^{2}-x+12=3x+7$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$-x^{2}-x+12-3x=7$$

Combinați -x cu -3x pentru a obține -4x.

$$-x^{2}-4x+12=7$$

Scădeți 12 din ambele părți.

$$-x^{2}-4x=7-12$$

Scădeți 12 din 7 pentru a obține -5.

$$-x^{2}-4x=-5$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}-4x}{-1}=-\frac{5}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{-1}\right)x=-\frac{5}{-1}$$

Împărțiți -4 la -1.

$$x^{2}+4x=-\frac{5}{-1}$$

Împărțiți -5 la -1.

$$x^{2}+4x=5$$

Împărțiți 4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 2. Apoi, adunați pătratul lui 2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+4x+2^{2}=5+2^{2}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x^{2}+4x+4=5+4$$

Adunați 5 cu 4.

$$x^{2}+4x+4=9$$

Factor x^{2}+4x+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=9$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplificați.

$$x+2=3 x+2=-3$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-5$$