Rezolvați x^2-8x=20

$$x ^ { 2 } - 8 x = 20$$

Rezolvați pentru x

$$x=-2$$

$$x=10$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Scădeți 20 din ambele părți.

$$x^{2}-8x-20=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori x^{2}-8x-20 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-8 ab=-20$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -20 de produs.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -8.

$$a=-10 b=2$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-10\right)\left(x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-10=0 și x+2=0.

$$x=10 x=-2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 20 din ambele părți.

$$x^{2}-8x-20=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-20. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-8 ab=1\left(-20\right)=-20$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -20 de produs.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -8.

$$a=-10 b=2$$

Rescrieți x^{2}-8x-20 ca \left(x^{2}-10x\right)+\left(2x-20\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(2x-20\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 2 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(x-10\right)+2\left(x-10\right)$$

Scoateți termenul comun x-10 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-10\right)\left(x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-10=0 și x+2=0.

$$x=10 x=-2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-8x=20$$

Scădeți 20 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-8x-20=20-20$$

Scăderea 20 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-8x-20=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -8 și c cu -20 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-20\right)}}{2}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-20\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -20.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2}$$

Adunați 64 cu 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2}$$

Opusul lui -8 este 8.

$$x=\frac{8±12}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±12}{2} atunci când ± este plus. Adunați 8 cu 12.

$$x=\frac{20}{2}$$

Împărțiți 20 la 2.

$$x=10$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±12}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 12 din 8.

$$x=-\frac{4}{2}$$

Împărțiți -4 la 2.

$$x=-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=10 x=-2$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-8x=20$$

Împărțiți -8, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -4. Apoi, adunați pătratul lui -4 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=20+\left(-4\right)^{2}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x^{2}-8x+16=20+16$$

Adunați 20 cu 16.

$$x^{2}-8x+16=36$$

Factorul x^{2}-8x+16. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=36$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Simplificați.

$$x-4=6 x-4=-6$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$x=10 x=-2$$