Rezolvați x^2-8x+15=0

$$x ^ { 2 } - 8 x + 15 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=3$$

$$x=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-8x+15 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-8 ab=15$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Soluția este perechea care dă suma de -8.

$$a=-5 b=-3$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-5=0 și x-3=0.

$$x=5 x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Soluția este perechea care dă suma de -8.

$$a=-5 b=-3$$

Rescrieți x^{2}-8x+15 ca \left(x^{2}-5x\right)+\left(-3x+15\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

Factor x în primul și -3 în al doilea grup.

$$x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

Scoateți termenul comun x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-5=0 și x-3=0.

$$x=5 x=3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-8x+15=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -8 și c cu 15 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15}}{2}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2}$$

Adunați 64 cu -60.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2}{2}$$

Opusul lui -8 este 8.

$$x=\frac{8±2}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±2}{2} atunci când ± este plus. Adunați 8 cu 2.

$$x=\frac{10}{2}$$

Împărțiți 10 la 2.

$$x=5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±2}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 2 din 8.

$$x=\frac{6}{2}$$

Împărțiți 6 la 2.

$$x=3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=5 x=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-8x+15=0$$

Scădeți 15 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-8x+15-15=-15$$

Scăderea 15 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-8x=-15$$

Împărțiți -8, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -4. Apoi, adunați pătratul lui -4 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x^{2}-8x+16=-15+16$$

Adunați -15 cu 16.

$$x^{2}-8x+16=1$$

Factor x^{2}-8x+16. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=1$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplificați.

$$x-4=1 x-4=-1$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$x=5 x=3$$