Rezolvați x^2-72x+720=0

$$x ^ { 2 } - 72 x + 720 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=12$$

$$x=60$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-72x+720 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-72 ab=720$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 720.

$$-1,-720 -2,-360 -3,-240 -4,-180 -5,-144 -6,-120 -8,-90 -9,-80 -10,-72 -12,-60 -15,-48 -16,-45 -18,-40 -20,-36 -24,-30$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-720=-721 -2-360=-362 -3-240=-243 -4-180=-184 -5-144=-149 -6-120=-126 -8-90=-98 -9-80=-89 -10-72=-82 -12-60=-72 -15-48=-63 -16-45=-61 -18-40=-58 -20-36=-56 -24-30=-54$$

Soluția este perechea care dă suma de -72.

$$a=-60 b=-12$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-60\right)\left(x-12\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-60=0 și x-12=0.

$$x=60 x=12$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+720. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-72 ab=1\times 720=720$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 720.

$$-1,-720 -2,-360 -3,-240 -4,-180 -5,-144 -6,-120 -8,-90 -9,-80 -10,-72 -12,-60 -15,-48 -16,-45 -18,-40 -20,-36 -24,-30$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-720=-721 -2-360=-362 -3-240=-243 -4-180=-184 -5-144=-149 -6-120=-126 -8-90=-98 -9-80=-89 -10-72=-82 -12-60=-72 -15-48=-63 -16-45=-61 -18-40=-58 -20-36=-56 -24-30=-54$$

Soluția este perechea care dă suma de -72.

$$a=-60 b=-12$$

Rescrieți x^{2}-72x+720 ca \left(x^{2}-60x\right)+\left(-12x+720\right).

$$\left(x^{2}-60x\right)+\left(-12x+720\right)$$

Factor x în primul și -12 în al doilea grup.

$$x\left(x-60\right)-12\left(x-60\right)$$

Scoateți termenul comun x-60 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-60\right)\left(x-12\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-60=0 și x-12=0.

$$x=60 x=12$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-72x+720=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -72 și c cu 720 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 720}}{2}$$

Ridicați -72 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 720}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 720.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-2880}}{2}$$

Adunați 5184 cu -2880.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{2304}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2304.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±48}{2}$$

Opusul lui -72 este 72.

$$x=\frac{72±48}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{72±48}{2} atunci când ± este plus. Adunați 72 cu 48.

$$x=\frac{120}{2}$$

Împărțiți 120 la 2.

$$x=60$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{72±48}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 48 din 72.

$$x=\frac{24}{2}$$

Împărțiți 24 la 2.

$$x=12$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=60 x=12$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-72x+720=0$$

Scădeți 720 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-72x+720-720=-720$$

Scăderea 720 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-72x=-720$$

Împărțiți -72, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -36. Apoi, adunați pătratul lui -36 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-72x+\left(-36\right)^{2}=-720+\left(-36\right)^{2}$$

Ridicați -36 la pătrat.

$$x^{2}-72x+1296=-720+1296$$

Adunați -720 cu 1296.

$$x^{2}-72x+1296=576$$

Factor x^{2}-72x+1296. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-36\right)^{2}=576$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-36\right)^{2}}=\sqrt{576}$$

Simplificați.

$$x-36=24 x-36=-24$$

Adunați 36 la ambele părți ale ecuației.

$$x=60 x=12$$