Rezolvați x^2-6x-40=0

$$x ^ { 2 } - 6 x - 40 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x=10$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori x^{2}-6x-40 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-6 ab=-40$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -40 de produs.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -6.

$$a=-10 b=4$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-10\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-10=0 și x+4=0.

$$x=10 x=-4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-40. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-6 ab=1\left(-40\right)=-40$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -40 de produs.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -6.

$$a=-10 b=4$$

Rescrieți x^{2}-6x-40 ca \left(x^{2}-10x\right)+\left(4x-40\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(4x-40\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 4 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(x-10\right)+4\left(x-10\right)$$

Scoateți termenul comun x-10 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-10\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-10=0 și x+4=0.

$$x=10 x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-6x-40=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -6 și c cu -40 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-40\right)}}{2}$$

Ridicați -6 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-40\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -40.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+160}}{2}$$

Adunați 36 cu 160.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{196}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 196.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±14}{2}$$

Opusul lui -6 este 6.

$$x=\frac{6±14}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{6±14}{2} atunci când ± este plus. Adunați 6 cu 14.

$$x=\frac{20}{2}$$

Împărțiți 20 la 2.

$$x=10$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{6±14}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 14 din 6.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Împărțiți -8 la 2.

$$x=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=10 x=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-6x-40=0$$

Adunați 40 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-6x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Scăderea -40 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-6x=-\left(-40\right)$$

Scădeți -40 din 0.

$$x^{2}-6x=40$$

Împărțiți -6, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -3. Apoi, adunați pătratul lui -3 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=40+\left(-3\right)^{2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x^{2}-6x+9=40+9$$

Adunați 40 cu 9.

$$x^{2}-6x+9=49$$

Factorul x^{2}-6x+9. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=49$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Simplificați.

$$x-3=7 x-3=-7$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$x=10 x=-4$$