Rezolvați x^2-4x-60=0

$$x ^ { 2 } - 4 x - 60 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-6$$

$$x=10$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-4x-60 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-4 ab=-60$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -4.

$$a=-10 b=6$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-10\right)\left(x+6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-10=0 și x+6=0.

$$x=10 x=-6$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-60. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-4 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -4.

$$a=-10 b=6$$

Rescrieți x^{2}-4x-60 ca \left(x^{2}-10x\right)+\left(6x-60\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(6x-60\right)$$

Factor x în primul și 6 în al doilea grup.

$$x\left(x-10\right)+6\left(x-10\right)$$

Scoateți termenul comun x-10 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-10\right)\left(x+6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-10=0 și x+6=0.

$$x=10 x=-6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-4x-60=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -4 și c cu -60 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-60\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -60.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2}$$

Adunați 16 cu 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$x=\frac{4±16}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±16}{2} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 16.

$$x=\frac{20}{2}$$

Împărțiți 20 la 2.

$$x=10$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±16}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 16 din 4.

$$x=-\frac{12}{2}$$

Împărțiți -12 la 2.

$$x=-6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=10 x=-6$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x-60=0$$

Adunați 60 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-4x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Scăderea -60 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-4x=-\left(-60\right)$$

Scădeți -60 din 0.

$$x^{2}-4x=60$$

Împărțiți -4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -2. Apoi, adunați pătratul lui -2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=60+\left(-2\right)^{2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x^{2}-4x+4=60+4$$

Adunați 60 cu 4.

$$x^{2}-4x+4=64$$

Factor x^{2}-4x+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=64$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Simplificați.

$$x-2=8 x-2=-8$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$x=10 x=-6$$