Rezolvați x^2-4x-21=0

$$x ^ { 2 } - 4 x - 21 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-3$$

$$x=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-4x-21 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-4 ab=-21$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -21.

$$1,-21 3,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-21=-20 3-7=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -4.

$$a=-7 b=3$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-7\right)\left(x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-7=0 și x+3=0.

$$x=7 x=-3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-21. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-4 ab=1\left(-21\right)=-21$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -21.

$$1,-21 3,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-21=-20 3-7=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -4.

$$a=-7 b=3$$

Rescrieți x^{2}-4x-21 ca \left(x^{2}-7x\right)+\left(3x-21\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(3x-21\right)$$

Factor x în primul și 3 în al doilea grup.

$$x\left(x-7\right)+3\left(x-7\right)$$

Scoateți termenul comun x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-7\right)\left(x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-7=0 și x+3=0.

$$x=7 x=-3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-4x-21=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -4 și c cu -21 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-21\right)}}{2}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-21\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -21.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+84}}{2}$$

Adunați 16 cu 84.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{100}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±10}{2}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$x=\frac{4±10}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±10}{2} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 10.

$$x=\frac{14}{2}$$

Împărțiți 14 la 2.

$$x=7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±10}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 10 din 4.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Împărțiți -6 la 2.

$$x=-3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=7 x=-3$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x-21=0$$

Adunați 21 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-4x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Scăderea -21 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-4x=-\left(-21\right)$$

Scădeți -21 din 0.

$$x^{2}-4x=21$$

Împărțiți -4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -2. Apoi, adunați pătratul lui -2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=21+\left(-2\right)^{2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x^{2}-4x+4=21+4$$

Adunați 21 cu 4.

$$x^{2}-4x+4=25$$

Factor x^{2}-4x+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=25$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Simplificați.

$$x-2=5 x-2=-5$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$x=7 x=-3$$