Rezolvați x^2-4x+1=0

$$x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\sqrt{3}+2\approx 3,732050808$$

$$x=2-\sqrt{3}\approx 0,267949192$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-4x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -4 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4}}{2}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4}}{2}$$

Adunați 16 cu -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+4}{2}$$

Împărțiți 4+2\sqrt{3} la 2.

$$x=\sqrt{3}+2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{3} din 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$$

Împărțiți 4-2\sqrt{3} la 2.

$$x=2-\sqrt{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-4x+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-4x=-1$$

Împărțiți -4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -2. Apoi, adunați pătratul lui -2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-1+\left(-2\right)^{2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x^{2}-4x+4=-1+4$$

Adunați -1 cu 4.

$$x^{2}-4x+4=3$$

Factor x^{2}-4x+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=3$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Simplificați.

$$x-2=\sqrt{3} x-2=-\sqrt{3}$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$