Rezolvați x^2-3x-180=0

$$x ^ { 2 } - 3 x - 180 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-12$$

$$x=15$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori x^{2}-3x-180 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-3 ab=-180$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -180 de produs.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -3.

$$a=-15 b=12$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-15\right)\left(x+12\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-15=0 și x+12=0.

$$x=15 x=-12$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-180. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-3 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -180 de produs.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -3.

$$a=-15 b=12$$

Rescrieți x^{2}-3x-180 ca \left(x^{2}-15x\right)+\left(12x-180\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(12x-180\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 12 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(x-15\right)+12\left(x-15\right)$$

Scoateți termenul comun x-15 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-15\right)\left(x+12\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-15=0 și x+12=0.

$$x=15 x=-12$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-3x-180=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -3 și c cu -180 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-180\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -180.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+720}}{2}$$

Adunați 9 cu 720.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{729}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 729.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±27}{2}$$

Opusul lui -3 este 3.

$$x=\frac{3±27}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±27}{2} atunci când ± este plus. Adunați 3 cu 27.

$$x=\frac{30}{2}$$

Împărțiți 30 la 2.

$$x=15$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±27}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 27 din 3.

$$x=-\frac{24}{2}$$

Împărțiți -24 la 2.

$$x=-12$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=15 x=-12$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-3x-180=0$$

Adunați 180 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-3x-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Scăderea -180 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-3x=-\left(-180\right)$$

Scădeți -180 din 0.

$$x^{2}-3x=180$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=180+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=180+\frac{9}{4}$$

Adunați 180 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{729}{4}$$

Factorul x^{2}-3x+\frac{9}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{27}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{27}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=15 x=-12$$