Rezolvați x^2-28x-480=0

$$x ^ { 2 } - 28 x - 480 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-12$$

$$x=40$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-28x-480 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-28 ab=-480$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -480.

$$1,-480 2,-240 3,-160 4,-120 5,-96 6,-80 8,-60 10,-48 12,-40 15,-32 16,-30 20,-24$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-480=-479 2-240=-238 3-160=-157 4-120=-116 5-96=-91 6-80=-74 8-60=-52 10-48=-38 12-40=-28 15-32=-17 16-30=-14 20-24=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -28.

$$a=-40 b=12$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-40\right)\left(x+12\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-40=0 și x+12=0.

$$x=40 x=-12$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-480. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-28 ab=1\left(-480\right)=-480$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -480.

$$1,-480 2,-240 3,-160 4,-120 5,-96 6,-80 8,-60 10,-48 12,-40 15,-32 16,-30 20,-24$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-480=-479 2-240=-238 3-160=-157 4-120=-116 5-96=-91 6-80=-74 8-60=-52 10-48=-38 12-40=-28 15-32=-17 16-30=-14 20-24=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -28.

$$a=-40 b=12$$

Rescrieți x^{2}-28x-480 ca \left(x^{2}-40x\right)+\left(12x-480\right).

$$\left(x^{2}-40x\right)+\left(12x-480\right)$$

Factor x în primul și 12 în al doilea grup.

$$x\left(x-40\right)+12\left(x-40\right)$$

Scoateți termenul comun x-40 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-40\right)\left(x+12\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-40=0 și x+12=0.

$$x=40 x=-12$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-28x-480=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -28 și c cu -480 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\left(-480\right)}}{2}$$

Ridicați -28 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\left(-480\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -480.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+1920}}{2}$$

Adunați 784 cu 1920.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{2704}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2704.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±52}{2}$$

Opusul lui -28 este 28.

$$x=\frac{28±52}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{28±52}{2} atunci când ± este plus. Adunați 28 cu 52.

$$x=\frac{80}{2}$$

Împărțiți 80 la 2.

$$x=40$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{28±52}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 52 din 28.

$$x=-\frac{24}{2}$$

Împărțiți -24 la 2.

$$x=-12$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=40 x=-12$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-28x-480=0$$

Adunați 480 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-28x-480-\left(-480\right)=-\left(-480\right)$$

Scăderea -480 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-28x=-\left(-480\right)$$

Scădeți -480 din 0.

$$x^{2}-28x=480$$

Împărțiți -28, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -14. Apoi, adunați pătratul lui -14 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-28x+\left(-14\right)^{2}=480+\left(-14\right)^{2}$$

Ridicați -14 la pătrat.

$$x^{2}-28x+196=480+196$$

Adunați 480 cu 196.

$$x^{2}-28x+196=676$$

Factor x^{2}-28x+196. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-14\right)^{2}=676$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-14\right)^{2}}=\sqrt{676}$$

Simplificați.

$$x-14=26 x-14=-26$$

Adunați 14 la ambele părți ale ecuației.

$$x=40 x=-12$$