Rezolvați x^2-21x+20=0

$$x ^ { 2 } - 21 x + 20 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=20$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-21x+20 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-21 ab=20$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 20.

$$-1,-20 -2,-10 -4,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-20=-21 -2-10=-12 -4-5=-9$$

Soluția este perechea care dă suma de -21.

$$a=-20 b=-1$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-20\right)\left(x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-20=0 și x-1=0.

$$x=20 x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+20. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-21 ab=1\times 20=20$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 20.

$$-1,-20 -2,-10 -4,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-20=-21 -2-10=-12 -4-5=-9$$

Soluția este perechea care dă suma de -21.

$$a=-20 b=-1$$

Rescrieți x^{2}-21x+20 ca \left(x^{2}-20x\right)+\left(-x+20\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(-x+20\right)$$

Factor x în primul și -1 în al doilea grup.

$$x\left(x-20\right)-\left(x-20\right)$$

Scoateți termenul comun x-20 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-20\right)\left(x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-20=0 și x-1=0.

$$x=20 x=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-21x+20=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -21 și c cu 20 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 20}}{2}$$

Ridicați -21 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 20}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 20.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-80}}{2}$$

Adunați 441 cu -80.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 361.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±19}{2}$$

Opusul lui -21 este 21.

$$x=\frac{21±19}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{21±19}{2} atunci când ± este plus. Adunați 21 cu 19.

$$x=\frac{40}{2}$$

Împărțiți 40 la 2.

$$x=20$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{21±19}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 19 din 21.

$$x=\frac{2}{2}$$

Împărțiți 2 la 2.

$$x=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=20 x=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-21x+20=0$$

Scădeți 20 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-21x+20-20=-20$$

Scăderea 20 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-21x=-20$$

Împărțiți -21, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{21}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{21}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-20+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{21}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=-20+\frac{441}{4}$$

Adunați -20 cu \frac{441}{4}.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{361}{4}$$

Factor x^{2}-21x+\frac{441}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{21}{2}=\frac{19}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{19}{2}$$

Adunați \frac{21}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=20 x=1$$