Rezolvați x^2-2x-5<0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 5 < 0$$

Rezolvați pentru x

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-5=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu -2 și c cu -5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$\left(x-\left(\sqrt{6}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{6}\right)\right)<0$$

Pentru ca produsul să fie negativ, x-\left(\sqrt{6}+1\right) și x-\left(1-\sqrt{6}\right) trebuie să fie de semne opuse. Tratați cazul în care x-\left(\sqrt{6}+1\right) este pozitiv și x-\left(1-\sqrt{6}\right) este negativ.

$$x-\left(\sqrt{6}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{6}\right)<0$$

Este fals pentru orice x.

$$x\in \emptyset$$

Tratați cazul în care x-\left(1-\sqrt{6}\right) este pozitiv și x-\left(\sqrt{6}+1\right) este negativ.

$$x-\left(1-\sqrt{6}\right)>0 x-\left(\sqrt{6}+1\right)<0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right).

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$