Rezolvați x^2-18x=-65

$$x ^ { 2 } - 18 x = - 65$$

Rezolvați pentru x

$$x=5$$

$$x=13$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Adăugați 65 la ambele părți.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-18x+65 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-18 ab=65$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 65.

$$-1,-65 -5,-13$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-65=-66 -5-13=-18$$

Soluția este perechea care dă suma de -18.

$$a=-13 b=-5$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-13\right)\left(x-5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-13=0 și x-5=0.

$$x=13 x=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați 65 la ambele părți.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+65. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-18 ab=1\times 65=65$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 65.

$$-1,-65 -5,-13$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-65=-66 -5-13=-18$$

Soluția este perechea care dă suma de -18.

$$a=-13 b=-5$$

Rescrieți x^{2}-18x+65 ca \left(x^{2}-13x\right)+\left(-5x+65\right).

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-5x+65\right)$$

Factor x în primul și -5 în al doilea grup.

$$x\left(x-13\right)-5\left(x-13\right)$$

Scoateți termenul comun x-13 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-13\right)\left(x-5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-13=0 și x-5=0.

$$x=13 x=5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-18x=-65$$

Adunați 65 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-18x-\left(-65\right)=-65-\left(-65\right)$$

Scăderea -65 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-18x-\left(-65\right)=0$$

Scădeți -65 din 0.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -18 și c cu 65 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 65}}{2}$$

Ridicați -18 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 65}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 65.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-260}}{2}$$

Adunați 324 cu -260.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{64}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 64.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±8}{2}$$

Opusul lui -18 este 18.

$$x=\frac{18±8}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{18±8}{2} atunci când ± este plus. Adunați 18 cu 8.

$$x=\frac{26}{2}$$

Împărțiți 26 la 2.

$$x=13$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{18±8}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 8 din 18.

$$x=\frac{10}{2}$$

Împărțiți 10 la 2.

$$x=5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=13 x=5$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-18x=-65$$

Împărțiți -18, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -9. Apoi, adunați pătratul lui -9 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=-65+\left(-9\right)^{2}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$x^{2}-18x+81=-65+81$$

Adunați -65 cu 81.

$$x^{2}-18x+81=16$$

Factor x^{2}-18x+81. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=16$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Simplificați.

$$x-9=4 x-9=-4$$

Adunați 9 la ambele părți ale ecuației.

$$x=13 x=5$$