Rezolvați x^2-16x+48=0

$$x ^ { 2 } - 16 x + 48 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=4$$

$$x=12$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-16x+48 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-16 ab=48$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Soluția este perechea care dă suma de -16.

$$a=-12 b=-4$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-12\right)\left(x-4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-12=0 și x-4=0.

$$x=12 x=4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+48. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-16 ab=1\times 48=48$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Soluția este perechea care dă suma de -16.

$$a=-12 b=-4$$

Rescrieți x^{2}-16x+48 ca \left(x^{2}-12x\right)+\left(-4x+48\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(-4x+48\right)$$

Factor x în primul și -4 în al doilea grup.

$$x\left(x-12\right)-4\left(x-12\right)$$

Scoateți termenul comun x-12 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-12\right)\left(x-4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-12=0 și x-4=0.

$$x=12 x=4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-16x+48=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -16 și c cu 48 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 48}}{2}$$

Ridicați -16 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 48}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 48.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-192}}{2}$$

Adunați 256 cu -192.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{64}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 64.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±8}{2}$$

Opusul lui -16 este 16.

$$x=\frac{16±8}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{16±8}{2} atunci când ± este plus. Adunați 16 cu 8.

$$x=\frac{24}{2}$$

Împărțiți 24 la 2.

$$x=12$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{16±8}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 8 din 16.

$$x=\frac{8}{2}$$

Împărțiți 8 la 2.

$$x=4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=12 x=4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-16x+48=0$$

Scădeți 48 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-16x+48-48=-48$$

Scăderea 48 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-16x=-48$$

Împărțiți -16, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -8. Apoi, adunați pătratul lui -8 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-16x+\left(-8\right)^{2}=-48+\left(-8\right)^{2}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$x^{2}-16x+64=-48+64$$

Adunați -48 cu 64.

$$x^{2}-16x+64=16$$

Factor x^{2}-16x+64. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-8\right)^{2}=16$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-8\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Simplificați.

$$x-8=4 x-8=-4$$

Adunați 8 la ambele părți ale ecuației.

$$x=12 x=4$$