Rezolvați x^2-15x+44=0

$$x ^ { 2 } - 15 x + 44 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=4$$

$$x=11$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-15x+44 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-15 ab=44$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Soluția este perechea care dă suma de -15.

$$a=-11 b=-4$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-11\right)\left(x-4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-11=0 și x-4=0.

$$x=11 x=4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+44. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-15 ab=1\times 44=44$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Soluția este perechea care dă suma de -15.

$$a=-11 b=-4$$

Rescrieți x^{2}-15x+44 ca \left(x^{2}-11x\right)+\left(-4x+44\right).

$$\left(x^{2}-11x\right)+\left(-4x+44\right)$$

Factor x în primul și -4 în al doilea grup.

$$x\left(x-11\right)-4\left(x-11\right)$$

Scoateți termenul comun x-11 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-11\right)\left(x-4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-11=0 și x-4=0.

$$x=11 x=4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-15x+44=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -15 și c cu 44 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 44}}{2}$$

Ridicați -15 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 44}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 44.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-176}}{2}$$

Adunați 225 cu -176.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{49}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±7}{2}$$

Opusul lui -15 este 15.

$$x=\frac{15±7}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±7}{2} atunci când ± este plus. Adunați 15 cu 7.

$$x=\frac{22}{2}$$

Împărțiți 22 la 2.

$$x=11$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±7}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din 15.

$$x=\frac{8}{2}$$

Împărțiți 8 la 2.

$$x=4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=11 x=4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-15x+44=0$$

Scădeți 44 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-15x+44-44=-44$$

Scăderea 44 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-15x=-44$$

Împărțiți -15, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{15}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{15}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-44+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{15}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-44+\frac{225}{4}$$

Adunați -44 cu \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{49}{4}$$

Factor x^{2}-15x+\frac{225}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{7}{2}$$

Adunați \frac{15}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=11 x=4$$