Rezolvați x^2-15x+100=0

$$x ^ { 2 } - 15 x + 100 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2}\approx 7,5+6,614378278i$$

$$x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}\approx 7,5-6,614378278i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-15x+100=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -15 și c cu 100 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 100}}{2}$$

Ridicați -15 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 100}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 100.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-400}}{2}$$

Adunați 225 cu -400.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-175}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -175.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±5\sqrt{7}i}{2}$$

Opusul lui -15 este 15.

$$x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2} atunci când ± este plus. Adunați 15 cu 5i\sqrt{7}.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 5i\sqrt{7} din 15.

$$x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-15x+100=0$$

Scădeți 100 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-15x+100-100=-100$$

Scăderea 100 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-15x=-100$$

Împărțiți -15, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{15}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{15}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-100+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{15}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-100+\frac{225}{4}$$

Adunați -100 cu \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-\frac{175}{4}$$

Factorul x^{2}-15x+\frac{225}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=-\frac{175}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{175}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{7}i}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{7}i}{2}$$

Adunați \frac{15}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$