Rezolvați x^2-14x+40=0

$$x ^ { 2 } - 14 x + 40 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=4$$

$$x=10$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-14x+40 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-14 ab=40$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Soluția este perechea care dă suma de -14.

$$a=-10 b=-4$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-10\right)\left(x-4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-10=0 și x-4=0.

$$x=10 x=4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+40. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-14 ab=1\times 40=40$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Soluția este perechea care dă suma de -14.

$$a=-10 b=-4$$

Rescrieți x^{2}-14x+40 ca \left(x^{2}-10x\right)+\left(-4x+40\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(-4x+40\right)$$

Factor x în primul și -4 în al doilea grup.

$$x\left(x-10\right)-4\left(x-10\right)$$

Scoateți termenul comun x-10 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-10\right)\left(x-4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-10=0 și x-4=0.

$$x=10 x=4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-14x+40=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -14 și c cu 40 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2}$$

Ridicați -14 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2}$$

Adunați 196 cu -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2}$$

Opusul lui -14 este 14.

$$x=\frac{14±6}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±6}{2} atunci când ± este plus. Adunați 14 cu 6.

$$x=\frac{20}{2}$$

Împărțiți 20 la 2.

$$x=10$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±6}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 6 din 14.

$$x=\frac{8}{2}$$

Împărțiți 8 la 2.

$$x=4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=10 x=4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-14x+40=0$$

Scădeți 40 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-14x+40-40=-40$$

Scăderea 40 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-14x=-40$$

Împărțiți -14, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -7. Apoi, adunați pătratul lui -7 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-40+\left(-7\right)^{2}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x^{2}-14x+49=-40+49$$

Adunați -40 cu 49.

$$x^{2}-14x+49=9$$

Factor x^{2}-14x+49. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=9$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplificați.

$$x-7=3 x-7=-3$$

Adunați 7 la ambele părți ale ecuației.

$$x=10 x=4$$