Rezolvați x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=6$$

$$x=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori x^{2}-13x+42 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-13 ab=42$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 42 de produs.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Soluția este perechea care dă suma de -13.

$$a=-7 b=-6$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-7=0 și x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+42. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 42 de produs.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Soluția este perechea care dă suma de -13.

$$a=-7 b=-6$$

Rescrieți x^{2}-13x+42 ca \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și -6 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Scoateți termenul comun x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-7=0 și x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -13 și c cu 42 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

Ridicați -13 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Adunați 169 cu -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

Opusul lui -13 este 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{13±1}{2} atunci când ± este plus. Adunați 13 cu 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

Împărțiți 14 la 2.

$$x=7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{13±1}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Împărțiți 12 la 2.

$$x=6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=7 x=6$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Scădeți 42 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

Scăderea 42 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-13x=-42$$

Împărțiți -13, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{13}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{13}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{13}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Adunați -42 cu \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Factorul x^{2}-13x+\frac{169}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Adunați \frac{13}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=7 x=6$$