Rezolvați x^2-12x-9=0

$$x ^ { 2 } - 12 x - 9 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=3\sqrt{5}+6\approx 12,708203932$$

$$x=6-3\sqrt{5}\approx -0,708203932$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-12x-9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -12 și c cu -9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\left(-9\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+36}}{2}$$

Adunați 144 cu 36.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{180}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 180.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{5}}{2}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2} atunci când ± este plus. Adunați 12 cu 6\sqrt{5}.

$$x=\frac{6\sqrt{5}+12}{2}$$

Împărțiți 12+6\sqrt{5} la 2.

$$x=3\sqrt{5}+6$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 6\sqrt{5} din 12.

$$x=\frac{12-6\sqrt{5}}{2}$$

Împărțiți 12-6\sqrt{5} la 2.

$$x=6-3\sqrt{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3\sqrt{5}+6 x=6-3\sqrt{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-12x-9=0$$

Adunați 9 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-12x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Scăderea -9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-12x=-\left(-9\right)$$

Scădeți -9 din 0.

$$x^{2}-12x=9$$

Împărțiți -12, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -6. Apoi, adunați pătratul lui -6 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=9+\left(-6\right)^{2}$$

Ridicați -6 la pătrat.

$$x^{2}-12x+36=9+36$$

Adunați 9 cu 36.

$$x^{2}-12x+36=45$$

Factor x^{2}-12x+36. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=45$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{45}$$

Simplificați.

$$x-6=3\sqrt{5} x-6=-3\sqrt{5}$$

Adunați 6 la ambele părți ale ecuației.

$$x=3\sqrt{5}+6 x=6-3\sqrt{5}$$