Rezolvați x^2-11x=-30

$$x ^ { 2 } - 11 x = - 30$$

Rezolvați pentru x

$$x=5$$

$$x=6$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Adăugați 30 la ambele părți.

$$x^{2}-11x+30=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-11x+30 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-11 ab=30$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Soluția este perechea care dă suma de -11.

$$a=-6 b=-5$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-6\right)\left(x-5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-6=0 și x-5=0.

$$x=6 x=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați 30 la ambele părți.

$$x^{2}-11x+30=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+30. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-11 ab=1\times 30=30$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Soluția este perechea care dă suma de -11.

$$a=-6 b=-5$$

Rescrieți x^{2}-11x+30 ca \left(x^{2}-6x\right)+\left(-5x+30\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(-5x+30\right)$$

Factor x în primul și -5 în al doilea grup.

$$x\left(x-6\right)-5\left(x-6\right)$$

Scoateți termenul comun x-6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-6\right)\left(x-5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-6=0 și x-5=0.

$$x=6 x=5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-11x=-30$$

Adunați 30 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-11x-\left(-30\right)=-30-\left(-30\right)$$

Scăderea -30 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-11x-\left(-30\right)=0$$

Scădeți -30 din 0.

$$x^{2}-11x+30=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -11 și c cu 30 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

Ridicați -11 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 30}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 30.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2}$$

Adunați 121 cu -120.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±1}{2}$$

Opusul lui -11 este 11.

$$x=\frac{11±1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±1}{2} atunci când ± este plus. Adunați 11 cu 1.

$$x=\frac{12}{2}$$

Împărțiți 12 la 2.

$$x=6$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±1}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din 11.

$$x=\frac{10}{2}$$

Împărțiți 10 la 2.

$$x=5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=6 x=5$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x=-30$$

Împărțiți -11, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-30+\frac{121}{4}$$

Adunați -30 cu \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{1}{4}$$

Factor x^{2}-11x+\frac{121}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{1}{2}$$

Adunați \frac{11}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=6 x=5$$