Rezolvați x^2-11x+28=0

$$x ^ { 2 } - 11 x + 28 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=4$$

$$x=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-11x+28 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-11 ab=28$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Soluția este perechea care dă suma de -11.

$$a=-7 b=-4$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-7=0 și x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+28. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-11 ab=1\times 28=28$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Soluția este perechea care dă suma de -11.

$$a=-7 b=-4$$

Rescrieți x^{2}-11x+28 ca \left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right)$$

Factor x în primul și -4 în al doilea grup.

$$x\left(x-7\right)-4\left(x-7\right)$$

Scoateți termenul comun x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-7=0 și x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -11 și c cu 28 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 28}}{2}$$

Ridicați -11 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 28}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 28.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2}$$

Adunați 121 cu -112.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±3}{2}$$

Opusul lui -11 este 11.

$$x=\frac{11±3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±3}{2} atunci când ± este plus. Adunați 11 cu 3.

$$x=\frac{14}{2}$$

Împărțiți 14 la 2.

$$x=7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±3}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 3 din 11.

$$x=\frac{8}{2}$$

Împărțiți 8 la 2.

$$x=4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=7 x=4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Scădeți 28 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-11x+28-28=-28$$

Scăderea 28 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-11x=-28$$

Împărțiți -11, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-28+\frac{121}{4}$$

Adunați -28 cu \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{9}{4}$$

Factor x^{2}-11x+\frac{121}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}$$

Adunați \frac{11}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=7 x=4$$