Rezolvați x^2-10x+90=0

$$x ^ { 2 } - 10 x + 90 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=5+\sqrt{65}i\approx 5+8,062257748i$$

$$x=-\sqrt{65}i+5\approx 5-8,062257748i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-10x+90=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -10 și c cu 90 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 90}}{2}$$

Ridicați -10 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 90}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 90.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-360}}{2}$$

Adunați 100 cu -360.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-260}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -260.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{65}i}{2}$$

Opusul lui -10 este 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2} atunci când ± este plus. Adunați 10 cu 2i\sqrt{65}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{65}i}{2}$$

Împărțiți 10+2i\sqrt{65} la 2.

$$x=5+\sqrt{65}i$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{65} din 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{65}i+10}{2}$$

Împărțiți 10-2i\sqrt{65} la 2.

$$x=-\sqrt{65}i+5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x+90=0$$

Scădeți 90 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-10x+90-90=-90$$

Scăderea 90 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-10x=-90$$

Împărțiți -10, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -5. Apoi, adunați pătratul lui -5 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-90+\left(-5\right)^{2}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x^{2}-10x+25=-90+25$$

Adunați -90 cu 25.

$$x^{2}-10x+25=-65$$

Factor x^{2}-10x+25. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=-65$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{-65}$$

Simplificați.

$$x-5=\sqrt{65}i x-5=-\sqrt{65}i$$

Adunați 5 la ambele părți ale ecuației.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$