Rezolvați x^2=11x+12

$$x ^ { 2 } = 11 x + 12$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x=12$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Scădeți 11x din ambele părți.

$$x^{2}-11x=12$$

Scădeți 12 din ambele părți.

$$x^{2}-11x-12=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-11x-12 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-11 ab=-12$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -11.

$$a=-12 b=1$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-12\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-12=0 și x+1=0.

$$x=12 x=-1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 11x din ambele părți.

$$x^{2}-11x=12$$

Scădeți 12 din ambele părți.

$$x^{2}-11x-12=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-12. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-11 ab=1\left(-12\right)=-12$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -11.

$$a=-12 b=1$$

Rescrieți x^{2}-11x-12 ca \left(x^{2}-12x\right)+\left(x-12\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(x-12\right)$$

Scoateți factorul comun x din x^{2}-12x.

$$x\left(x-12\right)+x-12$$

Scoateți termenul comun x-12 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-12\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-12=0 și x+1=0.

$$x=12 x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 11x din ambele părți.

$$x^{2}-11x=12$$

Scădeți 12 din ambele părți.

$$x^{2}-11x-12=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -11 și c cu -12 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-12\right)}}{2}$$

Ridicați -11 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-12\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -12.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+48}}{2}$$

Adunați 121 cu 48.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±13}{2}$$

Opusul lui -11 este 11.

$$x=\frac{11±13}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±13}{2} atunci când ± este plus. Adunați 11 cu 13.

$$x=\frac{24}{2}$$

Împărțiți 24 la 2.

$$x=12$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±13}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din 11.

$$x=-\frac{2}{2}$$

Împărțiți -2 la 2.

$$x=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=12 x=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 11x din ambele părți.

$$x^{2}-11x=12$$

Împărțiți -11, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

Adunați 12 cu \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

Factor x^{2}-11x+\frac{121}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

Adunați \frac{11}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=12 x=-1$$