Rezolvați x^2=(15-2x)(2x-5)

$$x ^ { 2 } = ( 15 - 2 x ) ( 2 x - 5 )$$

Rezolvați pentru x

$$x=3$$

$$x=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 15-2x cu 2x-5 și a combina termenii similari.

$$x^{2}=40x-75-4x^{2}$$

Scădeți 40x din ambele părți.

$$x^{2}-40x=-75-4x^{2}$$

Scădeți -75 din ambele părți.

$$x^{2}-40x-\left(-75\right)=-4x^{2}$$

Opusul lui -75 este 75.

$$x^{2}-40x+75=-4x^{2}$$

Adăugați 4x^{2} la ambele părți.

$$x^{2}-40x+75+4x^{2}=0$$

Combinați x^{2} cu 4x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x^{2}-40x+75=0$$

Se împart ambele părți la 5.

$$x^{2}-8x+15=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Soluția este perechea care dă suma de -8.

$$a=-5 b=-3$$

Rescrieți x^{2}-8x+15 ca \left(x^{2}-5x\right)+\left(-3x+15\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

Factor x în primul și -3 în al doilea grup.

$$x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

Scoateți termenul comun x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-5=0 și x-3=0.

$$x=5 x=3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 15-2x cu 2x-5 și a combina termenii similari.

$$x^{2}=40x-75-4x^{2}$$

Scădeți 40x din ambele părți.

$$x^{2}-40x=-75-4x^{2}$$

Scădeți -75 din ambele părți.

$$x^{2}-40x-\left(-75\right)=-4x^{2}$$

Opusul lui -75 este 75.

$$x^{2}-40x+75=-4x^{2}$$

Adăugați 4x^{2} la ambele părți.

$$x^{2}-40x+75+4x^{2}=0$$

Combinați x^{2} cu 4x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x^{2}-40x+75=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -40 și c cu 75 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 75}}{2\times 5}$$

Ridicați -40 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 75}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 75}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 75.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1500}}{2\times 5}$$

Adunați 1600 cu -1500.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{100}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10}{2\times 5}$$

Opusul lui -40 este 40.

$$x=\frac{40±10}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{40±10}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{40±10}{10} atunci când ± este plus. Adunați 40 cu 10.

$$x=\frac{50}{10}$$

Împărțiți 50 la 10.

$$x=5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{40±10}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 10 din 40.

$$x=\frac{30}{10}$$

Împărțiți 30 la 10.

$$x=3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=5 x=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 15-2x cu 2x-5 și a combina termenii similari.

$$x^{2}=40x-75-4x^{2}$$

Scădeți 40x din ambele părți.

$$x^{2}-40x=-75-4x^{2}$$

Adăugați 4x^{2} la ambele părți.

$$x^{2}-40x+4x^{2}=-75$$

Combinați x^{2} cu 4x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x^{2}-40x=-75$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=-\frac{75}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=-\frac{75}{5}$$

Împărțiți -40 la 5.

$$x^{2}-8x=-\frac{75}{5}$$

Împărțiți -75 la 5.

$$x^{2}-8x=-15$$

Împărțiți -8, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -4. Apoi, adunați pătratul lui -4 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x^{2}-8x+16=-15+16$$

Adunați -15 cu 16.

$$x^{2}-8x+16=1$$

Factor x^{2}-8x+16. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=1$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplificați.

$$x-4=1 x-4=-1$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$x=5 x=3$$