Rezolvați x^2+x-56=0

$$x ^ { 2 } + x - 56 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-8$$

$$x=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori x^{2}+x-56 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=1 ab=-56$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -56 de produs.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-7 b=8$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-7\right)\left(x+8\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-7=0 și x+8=0.

$$x=7 x=-8$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-56. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=1 ab=1\left(-56\right)=-56$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -56 de produs.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-7 b=8$$

Rescrieți x^{2}+x-56 ca \left(x^{2}-7x\right)+\left(8x-56\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(8x-56\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 8 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(x-7\right)+8\left(x-7\right)$$

Scoateți termenul comun x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-7\right)\left(x+8\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-7=0 și x+8=0.

$$x=7 x=-8$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+x-56=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 1 și c cu -56 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-56\right)}}{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-56\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -56.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2}$$

Adunați 1 cu 224.

$$x=\frac{-1±\sqrt{225}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 225.

$$x=\frac{-1±15}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±15}{2} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 15.

$$x=\frac{14}{2}$$

Împărțiți 14 la 2.

$$x=7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±15}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 15 din -1.

$$x=-\frac{16}{2}$$

Împărțiți -16 la 2.

$$x=-8$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=7 x=-8$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x-56=0$$

Adunați 56 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+x-56-\left(-56\right)=-\left(-56\right)$$

Scăderea -56 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+x=-\left(-56\right)$$

Scădeți -56 din 0.

$$x^{2}+x=56$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=56+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=56+\frac{1}{4}$$

Adunați 56 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{225}{4}$$

Factorul x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{15}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{15}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=7 x=-8$$