Rezolvați x^2+7x+12=0

$$x ^ { 2 } + 7 x + 12 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x=-3$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori x^{2}+7x+12 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=7 ab=12$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt pozitive. Enumerați toate perechile întregi care oferă 12 de produs.

$$1,12 2,6 3,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Soluția este perechea care dă suma de 7.

$$a=3 b=4$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x+3\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x+3=0 și x+4=0.

$$x=-3 x=-4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+12. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=7 ab=1\times 12=12$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt pozitive. Enumerați toate perechile întregi care oferă 12 de produs.

$$1,12 2,6 3,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Soluția este perechea care dă suma de 7.

$$a=3 b=4$$

Rescrieți x^{2}+7x+12 ca \left(x^{2}+3x\right)+\left(4x+12\right).

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(4x+12\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 4 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(x+3\right)+4\left(x+3\right)$$

Scoateți termenul comun x+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x+3\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x+3=0 și x+4=0.

$$x=-3 x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+7x+12=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 7 și c cu 12 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 12}}{2}$$

Ridicați 7 la pătrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 12}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2}$$

Adunați 49 cu -48.

$$x=\frac{-7±\sqrt{1}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$x=\frac{-7±1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±1}{2} atunci când ± este plus. Adunați -7 cu 1.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Împărțiți -6 la 2.

$$x=-3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±1}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din -7.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Împărțiți -8 la 2.

$$x=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-3 x=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+7x+12=0$$

Scădeți 12 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+7x+12-12=-12$$

Scăderea 12 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+7x=-12$$

Împărțiți 7, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{7}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{7}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-12+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{7}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-12+\frac{49}{4}$$

Adunați -12 cu \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{1}{4}$$

Factorul x^{2}+7x+\frac{49}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{1}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}$$

Scădeți \frac{7}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-3 x=-4$$