Rezolvați x^2+50x-30000=0

$$x ^ { 2 } + 50 x - 30000 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-200$$

$$x=150$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori x^{2}+50x-30000 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=50 ab=-30000$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -30000 de produs.

$$-1,30000 -2,15000 -3,10000 -4,7500 -5,6000 -6,5000 -8,3750 -10,3000 -12,2500 -15,2000 -16,1875 -20,1500 -24,1250 -25,1200 -30,1000 -40,750 -48,625 -50,600 -60,500 -75,400 -80,375 -100,300 -120,250 -125,240 -150,200$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+30000=29999 -2+15000=14998 -3+10000=9997 -4+7500=7496 -5+6000=5995 -6+5000=4994 -8+3750=3742 -10+3000=2990 -12+2500=2488 -15+2000=1985 -16+1875=1859 -20+1500=1480 -24+1250=1226 -25+1200=1175 -30+1000=970 -40+750=710 -48+625=577 -50+600=550 -60+500=440 -75+400=325 -80+375=295 -100+300=200 -120+250=130 -125+240=115 -150+200=50$$

Soluția este perechea care dă suma de 50.

$$a=-150 b=200$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-150\right)\left(x+200\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-150=0 și x+200=0.

$$x=150 x=-200$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-30000. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=50 ab=1\left(-30000\right)=-30000$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -30000 de produs.

$$-1,30000 -2,15000 -3,10000 -4,7500 -5,6000 -6,5000 -8,3750 -10,3000 -12,2500 -15,2000 -16,1875 -20,1500 -24,1250 -25,1200 -30,1000 -40,750 -48,625 -50,600 -60,500 -75,400 -80,375 -100,300 -120,250 -125,240 -150,200$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+30000=29999 -2+15000=14998 -3+10000=9997 -4+7500=7496 -5+6000=5995 -6+5000=4994 -8+3750=3742 -10+3000=2990 -12+2500=2488 -15+2000=1985 -16+1875=1859 -20+1500=1480 -24+1250=1226 -25+1200=1175 -30+1000=970 -40+750=710 -48+625=577 -50+600=550 -60+500=440 -75+400=325 -80+375=295 -100+300=200 -120+250=130 -125+240=115 -150+200=50$$

Soluția este perechea care dă suma de 50.

$$a=-150 b=200$$

Rescrieți x^{2}+50x-30000 ca \left(x^{2}-150x\right)+\left(200x-30000\right).

$$\left(x^{2}-150x\right)+\left(200x-30000\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 200 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(x-150\right)+200\left(x-150\right)$$

Scoateți termenul comun x-150 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-150\right)\left(x+200\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-150=0 și x+200=0.

$$x=150 x=-200$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+50x-30000=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 50 și c cu -30000 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\left(-30000\right)}}{2}$$

Ridicați 50 la pătrat.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-4\left(-30000\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -30000.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500+120000}}{2}$$

Adunați 2500 cu 120000.

$$x=\frac{-50±\sqrt{122500}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 122500.

$$x=\frac{-50±350}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-50±350}{2} atunci când ± este plus. Adunați -50 cu 350.

$$x=\frac{300}{2}$$

Împărțiți 300 la 2.

$$x=150$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-50±350}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 350 din -50.

$$x=-\frac{400}{2}$$

Împărțiți -400 la 2.

$$x=-200$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=150 x=-200$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+50x-30000=0$$

Adunați 30000 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+50x-30000-\left(-30000\right)=-\left(-30000\right)$$

Scăderea -30000 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+50x=-\left(-30000\right)$$

Scădeți -30000 din 0.

$$x^{2}+50x=30000$$

Împărțiți 50, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 25. Apoi, adunați pătratul lui 25 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+50x+25^{2}=30000+25^{2}$$

Ridicați 25 la pătrat.

$$x^{2}+50x+625=30000+625$$

Adunați 30000 cu 625.

$$x^{2}+50x+625=30625$$

Factorul x^{2}+50x+625. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+25\right)^{2}=30625$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+25\right)^{2}}=\sqrt{30625}$$

Simplificați.

$$x+25=175 x+25=-175$$

Scădeți 25 din ambele părți ale ecuației.

$$x=150 x=-200$$