Rezolvați x^2+4x-45=0

$$x ^ { 2 } + 4 x - 45 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-9$$

$$x=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+4x-45 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=4 ab=-45$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -45.

$$-1,45 -3,15 -5,9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+45=44 -3+15=12 -5+9=4$$

Soluția este perechea care dă suma de 4.

$$a=-5 b=9$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-5\right)\left(x+9\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-5=0 și x+9=0.

$$x=5 x=-9$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-45. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=4 ab=1\left(-45\right)=-45$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -45.

$$-1,45 -3,15 -5,9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+45=44 -3+15=12 -5+9=4$$

Soluția este perechea care dă suma de 4.

$$a=-5 b=9$$

Rescrieți x^{2}+4x-45 ca \left(x^{2}-5x\right)+\left(9x-45\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(9x-45\right)$$

Factor x în primul și 9 în al doilea grup.

$$x\left(x-5\right)+9\left(x-5\right)$$

Scoateți termenul comun x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-5\right)\left(x+9\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-5=0 și x+9=0.

$$x=5 x=-9$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+4x-45=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 4 și c cu -45 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-45\right)}}{2}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-45\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -45.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+180}}{2}$$

Adunați 16 cu 180.

$$x=\frac{-4±\sqrt{196}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 196.

$$x=\frac{-4±14}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±14}{2} atunci când ± este plus. Adunați -4 cu 14.

$$x=\frac{10}{2}$$

Împărțiți 10 la 2.

$$x=5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±14}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 14 din -4.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Împărțiți -18 la 2.

$$x=-9$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=5 x=-9$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+4x-45=0$$

Adunați 45 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+4x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Scăderea -45 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+4x=-\left(-45\right)$$

Scădeți -45 din 0.

$$x^{2}+4x=45$$

Împărțiți 4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 2. Apoi, adunați pătratul lui 2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+4x+2^{2}=45+2^{2}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x^{2}+4x+4=45+4$$

Adunați 45 cu 4.

$$x^{2}+4x+4=49$$

Factor x^{2}+4x+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=49$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Simplificați.

$$x+2=7 x+2=-7$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$x=5 x=-9$$