Rezolvați x^2+34x-71000=0

$$x ^ { 2 } + 34 x - 71000 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-284$$

$$x=250$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+34x-71000 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=34 ab=-71000$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -71000.

$$-1,71000 -2,35500 -4,17750 -5,14200 -8,8875 -10,7100 -20,3550 -25,2840 -40,1775 -50,1420 -71,1000 -100,710 -125,568 -142,500 -200,355 -250,284$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+71000=70999 -2+35500=35498 -4+17750=17746 -5+14200=14195 -8+8875=8867 -10+7100=7090 -20+3550=3530 -25+2840=2815 -40+1775=1735 -50+1420=1370 -71+1000=929 -100+710=610 -125+568=443 -142+500=358 -200+355=155 -250+284=34$$

Soluția este perechea care dă suma de 34.

$$a=-250 b=284$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-250\right)\left(x+284\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-250=0 și x+284=0.

$$x=250 x=-284$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-71000. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=34 ab=1\left(-71000\right)=-71000$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -71000.

$$-1,71000 -2,35500 -4,17750 -5,14200 -8,8875 -10,7100 -20,3550 -25,2840 -40,1775 -50,1420 -71,1000 -100,710 -125,568 -142,500 -200,355 -250,284$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+71000=70999 -2+35500=35498 -4+17750=17746 -5+14200=14195 -8+8875=8867 -10+7100=7090 -20+3550=3530 -25+2840=2815 -40+1775=1735 -50+1420=1370 -71+1000=929 -100+710=610 -125+568=443 -142+500=358 -200+355=155 -250+284=34$$

Soluția este perechea care dă suma de 34.

$$a=-250 b=284$$

Rescrieți x^{2}+34x-71000 ca \left(x^{2}-250x\right)+\left(284x-71000\right).

$$\left(x^{2}-250x\right)+\left(284x-71000\right)$$

Factor x în primul și 284 în al doilea grup.

$$x\left(x-250\right)+284\left(x-250\right)$$

Scoateți termenul comun x-250 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-250\right)\left(x+284\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-250=0 și x+284=0.

$$x=250 x=-284$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+34x-71000=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 34 și c cu -71000 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-34±\sqrt{34^{2}-4\left(-71000\right)}}{2}$$

Ridicați 34 la pătrat.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156-4\left(-71000\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -71000.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156+284000}}{2}$$

Adunați 1156 cu 284000.

$$x=\frac{-34±\sqrt{285156}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 285156.

$$x=\frac{-34±534}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-34±534}{2} atunci când ± este plus. Adunați -34 cu 534.

$$x=\frac{500}{2}$$

Împărțiți 500 la 2.

$$x=250$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-34±534}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 534 din -34.

$$x=-\frac{568}{2}$$

Împărțiți -568 la 2.

$$x=-284$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=250 x=-284$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+34x-71000=0$$

Adunați 71000 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+34x-71000-\left(-71000\right)=-\left(-71000\right)$$

Scăderea -71000 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+34x=-\left(-71000\right)$$

Scădeți -71000 din 0.

$$x^{2}+34x=71000$$

Împărțiți 34, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 17. Apoi, adunați pătratul lui 17 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+34x+17^{2}=71000+17^{2}$$

Ridicați 17 la pătrat.

$$x^{2}+34x+289=71000+289$$

Adunați 71000 cu 289.

$$x^{2}+34x+289=71289$$

Factor x^{2}+34x+289. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+17\right)^{2}=71289$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+17\right)^{2}}=\sqrt{71289}$$

Simplificați.

$$x+17=267 x+17=-267$$

Scădeți 17 din ambele părți ale ecuației.

$$x=250 x=-284$$