Rezolvați x^2+30x-18000=0

$$x ^ { 2 } + 30 x - 18000 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-150$$

$$x=120$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori x^{2}+30x-18000 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=30 ab=-18000$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -18000 de produs.

$$-1,18000 -2,9000 -3,6000 -4,4500 -5,3600 -6,3000 -8,2250 -9,2000 -10,1800 -12,1500 -15,1200 -16,1125 -18,1000 -20,900 -24,750 -25,720 -30,600 -36,500 -40,450 -45,400 -48,375 -50,360 -60,300 -72,250 -75,240 -80,225 -90,200 -100,180 -120,150 -125,144$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+18000=17999 -2+9000=8998 -3+6000=5997 -4+4500=4496 -5+3600=3595 -6+3000=2994 -8+2250=2242 -9+2000=1991 -10+1800=1790 -12+1500=1488 -15+1200=1185 -16+1125=1109 -18+1000=982 -20+900=880 -24+750=726 -25+720=695 -30+600=570 -36+500=464 -40+450=410 -45+400=355 -48+375=327 -50+360=310 -60+300=240 -72+250=178 -75+240=165 -80+225=145 -90+200=110 -100+180=80 -120+150=30 -125+144=19$$

Soluția este perechea care dă suma de 30.

$$a=-120 b=150$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-120\right)\left(x+150\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-120=0 și x+150=0.

$$x=120 x=-150$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-18000. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=30 ab=1\left(-18000\right)=-18000$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -18000 de produs.

$$-1,18000 -2,9000 -3,6000 -4,4500 -5,3600 -6,3000 -8,2250 -9,2000 -10,1800 -12,1500 -15,1200 -16,1125 -18,1000 -20,900 -24,750 -25,720 -30,600 -36,500 -40,450 -45,400 -48,375 -50,360 -60,300 -72,250 -75,240 -80,225 -90,200 -100,180 -120,150 -125,144$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+18000=17999 -2+9000=8998 -3+6000=5997 -4+4500=4496 -5+3600=3595 -6+3000=2994 -8+2250=2242 -9+2000=1991 -10+1800=1790 -12+1500=1488 -15+1200=1185 -16+1125=1109 -18+1000=982 -20+900=880 -24+750=726 -25+720=695 -30+600=570 -36+500=464 -40+450=410 -45+400=355 -48+375=327 -50+360=310 -60+300=240 -72+250=178 -75+240=165 -80+225=145 -90+200=110 -100+180=80 -120+150=30 -125+144=19$$

Soluția este perechea care dă suma de 30.

$$a=-120 b=150$$

Rescrieți x^{2}+30x-18000 ca \left(x^{2}-120x\right)+\left(150x-18000\right).

$$\left(x^{2}-120x\right)+\left(150x-18000\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 150 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(x-120\right)+150\left(x-120\right)$$

Scoateți termenul comun x-120 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-120\right)\left(x+150\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-120=0 și x+150=0.

$$x=120 x=-150$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+30x-18000=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 30 și c cu -18000 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-18000\right)}}{2}$$

Ridicați 30 la pătrat.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-18000\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -18000.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+72000}}{2}$$

Adunați 900 cu 72000.

$$x=\frac{-30±\sqrt{72900}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 72900.

$$x=\frac{-30±270}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-30±270}{2} atunci când ± este plus. Adunați -30 cu 270.

$$x=\frac{240}{2}$$

Împărțiți 240 la 2.

$$x=120$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-30±270}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 270 din -30.

$$x=-\frac{300}{2}$$

Împărțiți -300 la 2.

$$x=-150$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=120 x=-150$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+30x-18000=0$$

Adunați 18000 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+30x-18000-\left(-18000\right)=-\left(-18000\right)$$

Scăderea -18000 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+30x=-\left(-18000\right)$$

Scădeți -18000 din 0.

$$x^{2}+30x=18000$$

Împărțiți 30, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 15. Apoi, adunați pătratul lui 15 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+30x+15^{2}=18000+15^{2}$$

Ridicați 15 la pătrat.

$$x^{2}+30x+225=18000+225$$

Adunați 18000 cu 225.

$$x^{2}+30x+225=18225$$

Factorul x^{2}+30x+225. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+15\right)^{2}=18225$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+15\right)^{2}}=\sqrt{18225}$$

Simplificați.

$$x+15=135 x+15=-135$$

Scădeți 15 din ambele părți ale ecuației.

$$x=120 x=-150$$