Rezolvați x^2+3x-11=0

$$x ^ { 2 } + 3 x - 11 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{53} - 3}{2} \approx 2,140054945$$

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}\approx -5,140054945$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+3x-11=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 3 și c cu -11 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-11\right)}}{2}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-11\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+44}}{2}$$

Adunați 9 cu 44.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu \sqrt{53}.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{53} din -3.

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x-11=0$$

Adunați 11 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+3x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Scăderea -11 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+3x=-\left(-11\right)$$

Scădeți -11 din 0.

$$x^{2}+3x=11$$

Împărțiți 3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=11+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=11+\frac{9}{4}$$

Adunați 11 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{53}{4}$$

Factor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{53}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{53}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{53}}{2}$$

Scădeți \frac{3}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$