Rezolvați x^2+3x-20/x^2+3x=8

$$x ^ { 2 } + 3 x - \frac { 20 } { x ^ { 2 } + 3 x } = 8$$

Rezolvați pentru x

$$x=-2$$

$$x=-1$$

$$x=2$$

$$x=-5$$

Pașii soluției

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+3\right).

$$x\left(x+3\right)x^{2}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+3.

$$\left(x^{2}+3x\right)x^{2}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}+3x cu x^{2}.

$$x^{4}+3x^{3}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

Înmulțiți x cu x pentru a obține x^{2}.

$$x^{4}+3x^{3}+3x^{2}\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x^{2} cu x+3.

$$x^{4}+3x^{3}+3x^{3}+9x^{2}-20=8x\left(x+3\right)$$

Combinați 3x^{3} cu 3x^{3} pentru a obține 6x^{3}.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20=8x\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 8x cu x+3.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20=8x^{2}+24x$$

Scădeți 8x^{2} din ambele părți.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20-8x^{2}=24x$$

Combinați 9x^{2} cu -8x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-20=24x$$

Scădeți 24x din ambele părți.

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-20-24x=0$$

Rearanjați ecuația pentru a o trece sub formă standard. Plasați termenii în ordine, de la cea mai mare la cea mai mică putere.

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-24x-20=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -20 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{4}+6x^{3}+x^{2}-24x-20 la x+1 pentru a obține x^{3}+5x^{2}-4x-20. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{3}+5x^{2}-4x-20=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -20 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=2$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}+5x^{2}-4x-20 la x-2 pentru a obține x^{2}+7x+10. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 7 și c cu 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Rezolvați ecuația x^{2}+7x+10=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$x=-5 x=-2$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=-1 x=2 x=-5 x=-2$$